Wat is de gulden snede?

De Gulden Snede is terug te vinden in alles om ons heen: planten, schelpen, Gotische kathedralen, schilderijen en in het menselijke lichaam. Wiskundigen en kunstenaars kenden al sinds de Grieken het geheim van ‘de goddelijke verhouding’. 

Het geheim van de gulden snede is een stukje, oude, raadselachtige Wiskunde die ik hieronder zal uitleggen. We komen De Gulden Snede op diverse plekken tegen. Zo vinden we deze terug in de architectuur, bij de lengte van je vingerkootjes, in de verhoudingen van je gezicht en zelfs bij groente, zoals bloemkool. De Gulden Snede duiden we aan met een getal. Dat getal noemen we φ (phi). Het getal φ (phi) geeft een verhouding weer. Men noemt dit ook wel de goddelijke verhouding (Divina Proportia).

Griekse letter phi en wordt geassocieert met de Fibonacci-reeks, een serie getallen waarin elk getal wordt opgeteld bij het voorgaande getal. De getallen van de Fibonacci-reeks zijn 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, enzovoort, waarbij de verhouding tussen elk getal en het voorgaande getal geleidelijk 1,618 of phi benadert.

In de wiskunde

Als je de verhouding uittekent in een rechthoek (zoals hierboven in het plaatje) dan is de verhouding tussen AB en BC hetzelfde als de verhouding tussen BC en AC. In getallen staat φ gelijk aan (1+√5)/2 en is dus ongeveer 1.61803. De snede is dus 1:1.61803.

In de Renaissance probeerden kunstenaars een ideaalbeeld van de wereld weer te geven. Ze zochten hiervoor naar harmonieuze composities, die organisatie en evenwicht uitstraalden. Veel Renaissance kunstenaars waren bovendien wetenschappers, omdat ze er naar streefden om een ‘Homo Universalis’ te zijn. Iemand dus die talenten op vele vakgebieden heeft. Renaissance kunstenaars vonden voor hun werken daarom ook inspiratie in de wiskunde, anatomie en architectuur.

“Alleen een goede kunstenaar is tevens een wiskundige.”

Michelangelo

Het geheim van de gulden snede

Het probleem waar Euclides enorm mee stoeide, kunnen we het beste als volgt beschrijven. Stel we hebben een lijnstuk AB (afb.1). En we verdelen dit lijnstuk in 2 stukken door ergens een punt te kiezen. Hoe lang moeten de lijnstukken zijn zodat: de verhouding tussen het grootste lijnstuk AC en het kleinste lijnstuk BC gelijk is aan de verhouding tussen de hele lijn AB en het langste stuk AC? Meer wiskundig bekeken, levert dit: “Waar ligt C op AB zodat geldt: AC : BC = AB : AC.”

Stel dat BC = b en AC = a dan volgt verder: a/b = (a+b) / a. De verhouding a/b heet het gulden getal. Het gulden getal duiden we aan met φ. Als we nu a/b = φ invullen, dan levert dat: a/b = a/a + b/a => φ = 1 + 1/φ. Als we nu links en rechts vermenigvuldigen met φ krijgen we: φ² = φ + 1 => φ² – φ – 1 = 0. Dit is een kwadratische vergelijking en deze kunnen we oplossen met de abc-formule.

Hieruit volgt dat:

φ₁ = (1+√5) / 2 = 1,618033988…
en
φ₂ = (1-√5) / 2 = -0,618033988…

Dit getal φ houdt dus in dat lijnstuk AC 1,618.. keer zo groot is als lijnstuk BC en lijnstuk AB 1,618.. keer zo groot is als lijnstuk AC.

Een mooie constructie van De Gulden Snede met passer en liniaal gaan we hieronder uiteenzetten:

Teken een rechthoekige driehoek ABC, met AB=1 en BC=2. Via de Stelling van Pythagoras weten we dat AC=√5.

• Maak een cirkel met middelpunt A en straal AB en laat deze snijden met AC in punt D.
• Maak een cirkel met middelpunt C en straal CD en laat deze snijden met BC in punt E.
• Nu weet je dat EC = DC = √5 – 1.

=> EC = √5-1

=> BE = 2 – EC = 2 – (√5-1)

=> BE = 3 – √5

Hieruit volgt => BE x BC = 6 – 2√5 = EC² Dus: BE / EC = EC / BC, met andere woorden, de zijde BC is verdeeld in De Gulden Snede.

Geschiedenis van de gulden snede.

De eerste vermelding van de gulden snede dateert van ongeveer 300 voor Christus in de Elementa van Euclides, het klassieke Griekse boek over wiskunde en geometrie. Euclides en andere vroege wiskundigen zoals Pythagoras erkenden deze verhouding, maar ze noemden dit nog niet de gulden snede. Het was pas veel later dat deze verhouding een mystieke lading kreeg. In 1509 publiceerde de Italiaanse wiskundige Luca Pacioli het boek De divina proportione (Heilige verhoudingen), samen met illustraties van Leonardo da Vinci, waarin deze verhouding werd geprezen als een weergave van goddelijk geïnspireerde eenvoud en ordening.

Vanwege Pacioli’s boek en Leonardo’s illustraties werd de gulden snede beroemd onder wiskundigen en kunstenaars. In de eeuwen na het boek van Pacioli hebben vele fans van de gulden snede beweerd dat het getal 1.618 of de verhouding hiervan, van nature het oog streelt, dat het een wiskundige destillatie van schoonheid is, en dat lijnsegmenten, rechthoekszijden en driehoeken die de gulden snede volgen, in de hele geschiedenis van de kunst zijn gebruikt.

Deze fans redeneren dat de gulden snede esthetisch bevredigend is omdat die in de natuur zo vaak voorkomt. De proporties van Nautilus schelpen en menselijke lichamen zijn voorbeelden van de gulden snede in de natuur, maar ze kunnen tussen individuen sterk verschillen. Sommige zeeschelpen breiden zich uit volgens de gulden snede in een patroon dat de gulden spiraal wordt genoemd, maar ze doen dat niet allemaal. Het klopt dat nautilussen hun hele leven dezelfde schelpverhouding behouden, maar de verhouding van hun schelpen is meestal een logaritmische spiraal en geen uitdrukking van phi.

Phi vertoont zich wel in andere aspecten van de natuur. Boombladeren en dennenappels zijn geneigd te groeien in patronen die de gulden snede benaderen, en spiralen van zonnebloemen en andere zaden komen dicht bij phi. Met phi is een efficiënte verdeling of stapeling mogelijk, waardoor bladeren die volgens de gulden snede groeien, elkaar niet beschaduwen en ten opzichte van elkaar een zogenoemde gulden hoek vormen.

Er is geen bewijs dat het gebruik van de gulden snede beter is dan het gebruik van andere proporties, maar kunstenaars en ontwerpers zijn altijd bezig balans, orde en een interessante compositie voor hun werk te maken.

Hoe herken je de Gulden Snede in de Renaissance kunst?

De Gulden Snede werd ook wel de goddelijke verhouding (sectio divina) genoemd, omdat het door kunstenaars, wetenschappers en filosofen werd gezien als de ideale verhouding. In de afgelopen duizenden jaren is de Gulden Snede talloze malen opnieuw gevonden en beschreven. Zo schreef de griekse wiskundige Euclides al 300 jaar voor Christus over de Gulden Snede in zijn boek Elementen: ‘Een recht lijnstuk wordt verdeeld in een uiterste en een middelste reden indien het gehele lijnstuk tot het grotere deel staat zoals het grotere deel tot het kleinere.’

Michelangelo & Leonardo da Vinci

In de werken van de belangrijkste Renaissance kunstenaars is vaak gebruik gemaakt van de goddelijke verhouding. Leonardo da Vinci gebruikte de Gulden Snede in zijn portretkunst om de ideale afbeelding te krijgen. In Salvator Mundi zijn het gezicht en de lengte van de hand even groot en deze staan in verhouding met de glazen bol volgens de Gulden Snede. Ook in de Mona Lisa zijn vergelijkbare verhoudingen gebruikt. Wanneer je verschillende Gulden Snede rechthoeken in elkaar plaatst, kan je een ‘Gouden Spiraal tekenen die de goddelijke verhouding volgt.

Ook Michelangelo gebruikte de Gulden snede in zijn beroemdste werken. In de fresco ‘de Creatie van Adam’ die op het plafond van de Sixtijnse kapel is geschilderd, is de Gulden Snede precies de verhouding tussen Adam en God. De plek waar de vingers elkaar raken, vormt precies het snijpunt.

Raphael

In ‘de School van Athene’ die Raphael schilderde in de pauselijke verblijven werd de snede ook veelvuldig toegepast. In de afbeelding hieronder zijn slechts een aantal van de plekken te zien waarin Raphael de Gulden Snede gebruikte om een harmonieuze verdeling van de vlakken in zijn schilderij te creëeren. Eigenlijk alle belangrijke afstanden in de fresco zijn te herleiden naar de goddelijke verhouding.

De gulden snede in kunst en grafisch ontwerp.

Een aantal kunstenaars en ontwerpers hebben hun werk bewust gebaseerd op de gulden snede. Le Corbusier, een beroemde moderne architect uit het midden van de twintigste eeuw, baseerde een groot deel van zijn architectonische systeem op de gulden snede. Salvador Dali, de surrealistische schilder, gebruikte opzettelijk een canvas in de vorm van een gulden rechthoek voor zijn schilderij Het laatste avondmaal. 

Waarom werd de Gulden Snede na de Renaissance minder populair?

De Gulden Snede is vaak gebruikt als een methode om harmonie te creëeren. Hierdoor werd de verhouding vaak toegepast in de Griekse en Renaissance kunst, die als doel hadden om de ideale wereld te laten zien. In latere kunststromingen zoals de barok en de romantiek waren emotie, beweging en dynamiek veel belangrijker. Het evenwicht dat de snede bracht, paste niet bij deze aanpak.

Toch zijn er ook moderne kunstenaars geweest die de snede toepaste in hun werk. Zo zijn er schilderijen van Georges Seurat, Piet Mondriaan en Salvador Dali waarin de goddelijke verhouding is terug te zien. Maar tegenwoordig wordt de Gulden Snede misschien wel het meest toegepast in de design. Talloze logo’s van grote bedrijven voldoen aan de regels van de snede en ook in de architectuur wordt de verhouding veel toegepast. Ook 2500 jaar na Euclides is de Gulden Snede dus nog populair!

De gulden snede in je werk gebruiken.

Esthetiek en design houden zich niet aan strikte wiskundige wetten. Je kunt een slecht design maken dat toch aan de gulden snede voldoet, maar je kunt de gulden snede gebruiken voor de vormgeving van je compositie om rommeligheid te vermijden en een ordelijk en gebalanceerd design te maken. 

De gulden snede kan ongeveer werken als de regel van derden: het kan een compositionele conventie of richtlijn zijn, maar het is geen in beton gegoten wet voor de structurering van je werk. Uiteindelijk is plaatsing in de ruimte belangrijk en is elke richtlijn handig. Als je elk plaatje gewoon centreert of tekst neerzet als één, niet uitgelijnd blok, loop je kans dat de lezer, kijker of gebruiker afhaakt. Gebruik de gulden snede als richtlijn voor je werk om te zorgen dat alles fraai geplaatst is in een goede compositie.

Met een conventie als de regel van derden of de gulden snede kun je variaties en lege ruimten maken die prettig zijn om naar te kijken en waardoor content eenvoudig te begrijpen is.  

Als je besluit de gulden snede te gebruiken als basis voor je kunst of design, kan dat je project een gelijkmatige, gebalanceerde en esthetische aanblik geven. Maar de verhoudingen hoeven niet precies 1,618 te zijn, zolang je weloverwogen en creatief ontwerpt. 

De Gulden Snede in mijn werk

In de afgelopen tien jaar heb ik me gespecialiseerd in het schilderen als de oude meesters. Vooral de gulden snede had mijn interesse, waardoor ik er veel over heb gelezen. De verhoudingen van de gulden snede hebben mij een houvast gegeven in het tekenen van het ontwerp. Dit kun je vooral terugzien in De Boodschap.